Олимпиада "Наноэлектроника"
Неофициальный сайт

Аннотация

В этой работе представлен ряд актуальных физико-технических аспектов нанотехнологий и наноразмерных структур, имеющих непосредственное отношение к наноинженерии. Рассмотрены начальные сведения о квантовой механике как физико-технические основы наноинженерии.

В работе: 5 рисунков, 3 таблицы, 24 страницы, 13 источников 

Ключевые слова: физико-технические основы, квантовая механика, волны де Бройля, уравнение Шредингера, принцип неопределенностей  Гейзенберга, потенциальная яма, потенциальный барьер, потенциальный ящик.

Глоссарий терминологии, сокращения и обозначения

Нанотехнология ‒ область фундаментальной и прикладной науки и техники, имеющая дело с совокупностью теоретического обоснования, практических методов исследования, анализа и синтеза, а также методов производства и применения продуктов с заданной атомной структурой путём контролирования отдельными атомами и молекулами.

Наноинженерия ‒ научно-практическая деятельность человека по конструированию, изготовлению и применению наноразмерных (наноструктурированных) объектов или структур, а также объектов или структур, созданных методами нанотехнологий.

Наноразмерные структуры (наноструктуры) ‒ совокупность наноразмерных объектов искусственного или естественного происхождения, свойства которой определяются не только размером структурных элементов, но и их взаимным расположением в пространстве.

Волны де Бройля - волны вероятности (или волны амплитуды вероятности), определяющие плотность вероятности обнаружения объекта в заданной точке конфигурационного пространства.

Потенциальная яма - область пространства, где присутствует локальный минимум потенциальной энергии частицы.

Потенциальный барьер - область пространства, разделяющая две другие области с различными или одинаковыми потенциальными энергиями. Характеризуется «высотой» - минимальной энергией классической частицы, необходимой для преодоления барьера.

Корпускулярно-волновой дуализм - принцип, согласно которому любой физический объект может быть описан как с использованием математического аппарата, основанного на волновых уравнениях, так и с помощью формализма, основанного на представлении об объекте как о частице или как о системе части.

ПМВ – плоская монохроматическая волна - модель в физике, удобная для теоретического описания явлений волновой природы, означающая, что в спектр волны входит всего одна составляющая по частоте.

W - энергия микрочастицы

h - постоянная Планка

ν - частота монохроматических колебаний

с - скорость распространения света в вакууме

p - механический импульс микрочастицы

m - масса микрочастицы

υ - скорость движения микрочастицы

λ - длина волны монохроматического оптического излучения

ϕ - электрический потенциал

W_k - кинетическая энергия микрочастицы

Ψ - волновая функция микрочастицы

U - функция потенциальной энергии системы

ϖ - функция плотности вероятности распределения микрочастицы в пространстве

k - модуль волнового вектора плоской монохроматической волны (де Бройля); постоянная Больцмана

n - квантовое число энергетического состояния

W_а - энергия активации элементарного физико-химического процесса

D - коэффициент прозрачности (туннельной) движения микрочастицы

R – коэффициент отражения

Содержание

$IMAGE2$

$IMAGE3$

$IMAGE4$

$IMAGE8$

$IMAGE10$

 Какая математика нужна наноинженеру

Математические основы

1. Понятие интеграла Римана. Критерии интегрируемости: необходимый, достаточный.
2. Метрические, нормированные и гильбертовы пространство.
3. Понятия интеграла Лебега. Пример функции, интегрируемой по Лебегу и неинтегрируемой по Риману.
4. Принцип сжимающих отображений. Формулировка теоремы.
5. Линейные непрерывные операторы. Проекторы, основное свойство и пример
6. Линейные непрерывные функционала, определение.
7. Общая схема применений проекционных методов.
8. Ряды Фурье по системе гармонических функций.
9. Корректно поставленные задачи.
10. Линейные интегральные уравнения Фредгольма.
11. Собственные значения матрицы.
12. Определение группы.
13. Корни полиномов. Основная теорема алгебры.
14. Линейные преобразование координат. Преобразования скаляра, вектора, тензора.
15. Операторы векторного анализа. Основы тождества, вид в декартовых координатах.
16. Цилиндрические и сферические координаты.
17. Экстремальные задачи в евклидовом пространстве R². Критическая точка, достаточные условия экстремума.
18.  Экстремальные задачи в евклидовом пространстве R² с ограничениями. Множители Лагранжа.
19. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Теорема о решение задач Коши.
20. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью в виде квазимногочлена.

 Простейшие математические модели.

1. Классификация дифференциальных уравнений второго порядки с частными производными в двумерном случае.
2. Постановка типичных задач математической физики для уравнения второго порядка с частными производными.
3. Уравнение теплопроводности с постоянными коэффициентами в одномерном случае. Физический смысл фундаментального решения.
4. Волновое уравнение в одномерном случае.
5. Уравнение Лапласа и Пуассона.
6. Уравнение Шредингера. Смысл волновой функции.
7. Уравнение Максвелла.
8. Физические законы, лежащие в основе уравнений газовой динамики.
9. Линейное одномерное уравнение переноса.
10. Корректность постановки задач математической физики.
11. Нахождение особых точек динамических систем на плоскости. Определение узла, фокуса, седла, центра.
12.  Аттракторы простейших динамических систем.
13. Понятие о бифункции.
14. Логическое отображение. Простейшие аттракторы и бифуркации.
15. Динамика осциллятора под действием периодической вынуждающей силы. Понятие о резонансе.
16. Уравнение движения материальной точки в потенциальном поле. Период колебание в потенциальной яме.
17. Уравнения движения физического маятника. Фазовое пространство.
18. Принцип наименьшего действия. Уравнение Эйлера – Лагранжа для маятника.
19. Гамильтоново описание динамики в простейшем случае.
20. Задача двух тел в гравитационном поле (задача Кеплера). Законы Кеплера.

Численный анализ

1. Число обусловленности матрице.
2. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений. Схема и свойства.
3. Метод прогонки.
4. Решение скалярных нелинейных уравнений. Метод Ньютона.
5. Интерполирование в одном случае. Полиномиальная интерполяция.
6. Простейшие квадратурные формулы.
7. Численное дифференцирование Варианты методов.
8.  Аппроксимация разностной схемы. Условная и безусловна аппроксимация.
9. Устойчивость разностной схемы. Условная и безусловная устойчивость.
10.  Сходимость разностной схемы.
11. Корректность разной схемы. Сходимость как следствие аппроксимации и устойчивости, теорема Рябенького – Филлипова.
12. Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.
13. Понятие о методах решения жёстких систем.
14.  Консервативные (дивергентные), однородные и монотонные разностные схемы.
15. Линейное одномерное уравнение теплопроводности с постоянными коэффициентами. Разностная схема с весами.
16. Линейное одномерное уравнение переноса с постоянной скоростью. Явные разностные схемы с левой, правой и центральной разностями.
17.  Линейное одномерное волновое уравнение колебаний.
18.  Линейное двумерное уравнение Пуассона. Пятиточечная схема.
19.  Экономичные разностные схемы для решения многомерного уравнения теплопроводности. Продольно-поперечная схема.
20. Понятие о методе конечных элементов.
21.  Понятие о методе Монте-Карло.