| Статистика |
Онлайн всего: 1 Гостей: 1 Пользователей: 0 |
|
Предел Бреммермана или наноэлектроника?
Национально-исследовательский ядерный университет
Московский инженерно-физический институт
Факультет «Автоматики и электроники»
Кафедра «Микро- и наноэлектроники»
Курс «Компьютерный практикум»
«Предел Вебберманна или наноэлектроника?»
Преподаватель: доцент В.А. Лапшинский
Подготовил: студент группы А4-11 В.А. Клоков
Москва 2011 (8.06.2011)
Содержание
1. Содержание
2. Глава 1. Основы анализа системы
2.1. Система объекта
2.2. Структура системы
2.3. Полное множество состояний системы
2.4. Функция ограничения на полном множестве состояния
2.5. Мера нечеткости множества состояний
3. Глава 2. Предел Бреммерманна
4. Литература
Глава 1. Основы анализа систем.
- И не поймешь, пока я тебене обьясню, –ответил Шалтай-Болтай
- Я хотел сказать «Разъяснил – как по полкам разложил»
Льюис Кэрролл
1.Система объекта.
Объектом познания является часть реального мира, которая выделяется и воспринимается как единое целое в течение длительного времени. Объект может быть материальным и абстрактным, естественным и искусственным. Реально объект обладает бесконечным набором свойств различной природы. Практически в процессе познания взаимодействие осуществляется с ограниченным множеством свойств, лежащих в приделах возможности их восприятия и необходимости для цели познания. Система объекта задаётся на множестве отобранных для наблюдения свойств. Процедура задания системы включает ряд операций: назначение переменных, параметров и канала наблюдения.
Каждому свойству объекта назначается переменная, с помощью которой суммируется изменение проявлений свойства. Множеству наблюдаемых проявлений свойства ставится в соответствие множество значений переменной.
D: Si ={Si,j ,j= }→ Xi ={Xij ,j= }.
Где Si – i-ое свойство;
Xi – переменная.
Процедура наблюдения свойств объекта включает базу и канал наблюдения. Под базой наблюдения понимается признаки различения одного проявления свойства от другого. Типовыми базами являются время, пространство, группа и их комбинации. Операционное выражение базы будем познавать параметром наблюдения. Операцию назначения значению параметра значения переменной назовём каналом наблюдения. В этом смысле необходимо различать чёткий и нечёткий канал наблюдения. Чёткий канал назначает одному значению параметра одно значение переменной. В этом случае система задаётся на чётком множестве значений переменных. В нечётном канале наблюдения не существует однозначного решения о том, какое значение переменной назначить определённому значению параметра. Поэтому система задаётся в виде нечётких множеств состояний переменных.
Формально система может быть представлена в виде множества
S=(X, T, R, Z).
где: X- множество переменных;
T- множество параметров;
R-отношения на множества X и T;
Z-цель исследований.
Отношения между переменными и параметрами здесь понимаются в самом широком смысле, включая как ограничение, сцепление, соединение и т.д.
2. Структура системы.
Под структурой системы понимается устойчивое множество отношений, которое сохраняется длительное время неизменным, по крайней мере в течение интервала наблюдения. Структура системы опережает определенный уровень сложности по составу отношений на множестве переменных и их значений или что эквивалентно, уровень разнообразий проявлений объекта.
Для приведённых уровней разнообразия справедливо соотношение S4CS3CS2CS1.
Формально структура представляет упорядоченности переменных и их значений по некоторому заданному относительно цели фактору. Физически (если такая интерпретация возможна) структура представляет аналитические и функциональные связи между элементами системы.
3. Полное множество состояний системы.
В системе заданной на множестве переменных X={Xn, i = },каждая переменная изменяет свое значение в некоторой области значений заданной множеством физически различных значений Xn ={Xn,k, k= }.Зафиксированное значение всех переменных относительно одного значения параметра представляет вектор состояния системы
Ci =< α1,k1, X2,k2,…, XN, kN >
Множество всех возможных векторов состояний C={Ci , i = }, образует полное множество состояний, где │C│ = kn
Реально состояние системы не равнозначны. Одни более, другие менее предпочтительны, другие запрещены. Это обстоятельство задается в виде функции ограничения.
4. Функция ограничения на полном множестве состояния
Состояние системы на полном множестве состояний неравнозначны. Одни состояние более другие менее предпочтительны, третьи практически не осуществлены. Неравнозначность состояния задается в виде функции ограничения. В общем случае она представляет собой отображение полного множества состояний:
f0 : C -> P
где Р – заданное множество
Предположим, что на множестве интервалов наблюдений объекта для функции ограничения справедливо условие:
f0 = 1, если с содержится в Ĉ
0, если с не принадлежит Ĉ
где с – вектор состояния системы
Ĉ С С - подмножество полного множества состояний.
В этом случае функция ограничения образует замкнутое множество состояний Ĉ. Такие системы будем называть замкнутыми. В обратном случае, когда от интервала к интервалу наблюдения состав элементов Ĉ меняется, т.е. функция ограничена для интервалов наблюдений, f0i ≢ f0j не множественны, то система будет разомкнутой.
Рассмотрим отображение в интервале наблюдения Т множества моментов времени измерений примененных на множестве наблюдаемых состояний Ĉ.
f0 : Ĉ -> Т
Т содержится в Ĉ
Здесь возможны два случая. В одном отображение однозначно, в другим- многозначно.
В случае однозначного отображения, т.е. когда одному значению времени соответствует только одно состояние системы, последняя будет детерминированной. Если отображение многозначно, т.е. одному значению времени допускается два и более состояний, то система будет стохастической.
Для детерминированной системы функция ограничения имеет вид:
f0 = 1, если при t = ti , C = Ci
0, если при t =ti , C содержит Ci
У стохастической системы в момент наблюдения t = ti состояние системы
СĈ является случайным. Ограничение полного множества состояний системы в этом случае задается нечеткими функциями типа вероятности, возможности, правдоподобности и др. В общем случае они представляют отображения вида:
f0 : С 0,1
При выборе функции ограничения исходят из соотношения мощности полного множества состояний С и мощности множества моментов наблюдения Т. Если С≤Т , то предпочтительной является функция вероятности. В обратном случае С>Т, предпочтительней функция возможностей.
Функция вероятности задается в следующем виде:
Р = {Р t , t = }
Где Рt < =
Nk – число наблюдаемых состояний Сk.
Т = Σ Nk – общее число наблюдений
Функция возможности определяется следующим образом:
W = {Wk, k = 1,k}
Где Wk =
i С
Из приведенных формул видно, что в первом случае наблюденное число состояний системы Сk нормируется относительно общего числа наблюдения
Т , во втором относительное число состояний с наибольшим значением.
Сk О1 О2 О3 Nk Pk Wk
1 0 0 0 10 0-1 0,53
2 0 0 1 5 0,05 0,17
3 0 1 0 20 0,2 0,16
4 0 1 1 5 0,05 0,17
5 1 0 0 0 0 0
6 1 0 1 30 0,3 1,0
7 1 1 0 10 0,1 0,33
8 1 1 1 20 0,2 0,61
Nk=100 Pk=1 Wk1
Таблица 1
5. Мера нечеткости множества состояний системы.
У стохастических систем полное множество состояния с позиции их допустимости представляет собой нечеткое множество.
При этом уровень нечеткости может меняться в значительных приделах. Например, если вероятности состояний P(Ci) = P(Cj) равны, то он максимальный, а при уровне P(Ci)=1 он минимален. Поэтому естественно надо ввести меру нечеткости полного множества состояний уровня нечеткости.
Для вероятностных систем нечетность задается через множество вероятностей состояния системы в виде отображения
H : P [0, ]
В качестве меры уровня нечеткости принята энтропия (Н). Она определяется по формуле:
H = - p (Ci) log p (Ci)
Из этой формулы видно, что если p (Ci)=1, то Н = 0, при p (Ci)=1/ |C| H=log2|C|.
Таким образом, величина энтропии монотонно меняется в пределах:
0 ⋜ Н ⋜ log2 C
Для систем с поперечным множеством состояний можно ввести нормированную энтропию:
Ĥ =
Ее величина меняется в области значений
0 ⋜ Ĥ ⋜ 1
Для возможностных систем аналогично нечеткость вводится через множество возможностей. А мера уровня нечеткости через возможностную энтропию. С формулами расчета этой энтропии можно познакомиться в работе [ ].
Рассмотрим систему на множестве интервалов наблюдения Т1, Т2, Т3, … . В этом случае возможно, что от интервала наблюдения Hi=Hj, уменьшает H1>H2>H3… или возрастает Н1<H2<H3… . В зависимости от характера интервалов энтропии на множестве интервалов наблюдения различают системы:
- закрытые, если Н1<H2<H3<…
- открытые, если Н1⋝H2⋝H3⋝…
Глава 2. Предел Бреммерманна.
- А разве имя должно что-то значить?- проговорила Алиса с сомнением.
- Конечно, должно, - ответил Шалтай-Болтай. – Возьмем, к примеру, мое имя – оно выражает мою суть! Замечательную и чудесную суть!
Льюис Кэрролл
Ограничивают ли физические законы быстродействие любой системы последовательной обработки данных («компьютера») ? Положительный ответ на этот вопрос был предложен в 1962 году Г. Бреммерманном: максимальное быстродействие - так называемый предел Бреммерманна :
Mc2/h ~ (M/gram)1047 бит в секунду на грамм массы,
где M – масса компьютера, c - скорость света, и h - постоянная Планка
Этот предел, с энтузиастом принятый Эшби , считается важным для основ системного моделирования и вычислимости. Ультра-практичное приложение этой величины привело к пределу быстродействия килограммового ультра-ноутбука ~ 1050 бит в секунду. А первое теоретическое приложение нашел сам Бреммерманн, указавший, что максимальное быстродействие земного компьютера, с массой порядка массы Земли, 1075 бит в секунду, мало по сравнению с количеством всех возможных шахматных партий (~10120 ) и с числом вариантов черно-белой мозаики в квадрате 100 Ч 100 элементов (~ 103000).
Однако, даже если быстродействия 1047 и 1075 и не чрезмерно велики для вычислительных задач, их обратные величины, т.е. длительности одной операции – 10-47 и 10-75 сек - неразумно малы для нынешней теоретической физики с учетом проблемы квантовой гравитации. Теория квантовой гравитации (о необходимости которой заявил еще сам Эйнштейн в 1916 году) не создана до сих пор, однако известны характерные пределы физических параметров, за которыми нынешние физические теории не применимы. Это – так называемые планковские величины, составленные из трех универсальных констант c, h, G, входящих в формулировки трех универсальных физических теорий: скорость света c (теория относительности), постоянная Планка h (квантовая механика) и гравитационная константа G (теория гравитации). В частности, планковское время DtcGh = (hG/c5)1/2= 10-43 сек много больше указанных («бреммерманновских») длительностей элементарной операции, которая ведь должна быть реализована каким-то физическим процессом.
Налицо явное противоречие: предел Бреммерманна выходит далеко за пределы допустимого в нынешней физике. Чтобы разобраться в причинах этого противоречия, внимательнее рассмотрим сам вывод Бреммерманна. И прежде всего заметим, что хотя свой предел Бреммерманн назвал следствием квантовой теории, фактически он опирался и на теорию относительности, поскольку вместе с квантовым соотношением неопределенностей:
DEDt > h
использовал релятивистскую формулу:
E = Mc2
. Однако он игнорировал размер компьютера, что неявно подразумевает бесконечную скорость распространения сигнала внутри компьютера и, значит, противоречит теории относительности.
Чтобы оценить минимальную продолжительность операции Dt в компьютере с массой M и линейным размером L, следует учесть квантовое ограничение:
Dt>h/DE
релятивистское ограничение доступной энергии:
DE< Mc2
и тот факт, что скорость сигнала внутри компьютера не превышает скорость света Dt > L/c .
Из этих трех неравенств следует, что
Dt>max [h/Mc2, L/c].
Это привело бы к пределу Бреммерманна
DtB = h / Mc2
если бы можно было выбирать L достаточно малой: L< h/Mc. Однако полной свободы в выборе величин L и M нет, поскольку существует гравитация, и здесь на сцену выходит третья универсальная – гравитационная - константа G. Чтобы компьютер не превратился в черную дыру и не исчез за горизонтом событий, должно выполняться условие L > GM/c2. В результате получаем минимальное время операции
Dtmin = (Gh /c5)1/2 ~ 10-43 sec, то есть планковское время DtcGh.
Следовательно, получаем абсолютный – не зависящий от массы компьютера – максимум быстродействия
(DtcGh )-1 = (c5/Gh)1/2 ~ 1043 бит в секунду.
То, что предел быстродействия, предложенный Бреммерманном, нуждается в исправлении, не уменьшает значения самого вопроса об ограничениях на информационные процессы, связанных с фундаментальными законами физики. Бреммерманн, в первой своей публикации на эту тему, именовал свой предел «предположением» (conjecture). И хотя он не пояснил, в чем сомнительность, такая осторожность представляется оправданной. Дело в том, что соотношение неопределенности – следствие нерелятивистской квантовой механики, и соединение его с релятивистским соотношением E=mc2 требует особого анализа.
Проведенное выше cGh-исправление предела Бреммерманна устраняет релятивистскую непоследовательность, но не заменяет такого анализа. Стоит заметить, что Планк получил cGh-величины из размерностных соображений в чисто метрологическом контексте, когда он только что открыл свою постоянную и еще не понимал, что открыл целый мир квантовой физики. Лишь спустя 35 лет М.П. Бронштейн (1906-1938) обнаружил квантовые границы теории гравитации как пределы применимости пространственно-временного описания. Этим границам, как оказалось, соответствуют планковские cGh-величины, а за этими границами требуется cGh-теория квантовой гравитации.
На нынешнем уровне теоретической физики константы c, G, h имеют одинаково-универсальный статус, и если универсально-максимальный предел быстродействия существует, то его попросту не из чего делать, кроме как из c, G, h.
Литература
1. http://habrahabr.ru/blogs/personal/54190/ - Предел Бреммермана – Невычисливые задачи;
2. http://ggorelik.narod.ru/Gloria/Bremermanns_Limit_and_cGh-physics_R.htm/ - Предел Бреммерманна и cGh-физика (Геннадий Горелик)[/color][/size][/u][/b][/l][l][c][r][/b] |
| Категория: Рефераты (курсы КП, ПК, ИТ и Сети) | Добавил: QTER (30.08.2011)
| Автор: Qter
|
| Просмотров: 1761
| Рейтинг: 0.0/0 |
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи. [ Регистрация | Вход ] |
|