Олимпиада "Наноэлектроника"
Неофициальный сайт

                                                    Пропорция обретается не только

                                                    в числах и мерах, но также в звуках,

                                                    тяжестях, временах и положениях 

                                                    и в любой силе, какая бы она ни была.

                                        Леонардо да Винчи

Введение

Получение новых материалов и развитие новых методов их исследо­вания невозможны без внедрения новых направлений метрологии и измери­тельной техники. Так, сканирующий туннельный микроскоп, созданный в лаборатории фирмы ЮМ для исследования особенностей и неоднородностей поверхности монокристаллов кремния, стал важнейшим инструмен­том нанотехнологий. Единство неживых и живых природных объектов проявляется в удивительной способности одинаково реагировать на разнообразные воз­действия окружающей среды. Выявление неспецифических реакций живых организмов послужило основой теории стресса.

Единство измерений и окружающая среда

Окружающий мир представляет собой большую динамическую систему. Понять происходящие в природе явления и использовать их для дальнейшего развития можно посредством количественных и качественных оценок, получаемых посредством измерений – совокупности операций, выполняемых для определения значений величины.

Измерение – обобщенное воздействие – присутствует как на микро-, так и на макроуровнях. Чем больше размерность измеряемых объектов (аналог массы при условии соответствующей организации), то есть чем больше продвижение по главной диагонали матриц квантовых измерений и соответственно больше значение главного квантового числа и номеров комплексов, тем меньше вероятности ошибок. Большая масса объекта и связанные с ней большие квантовые числа являются критериями перехода от волновой к классической механике.

Выделяют четыре класса измеряемых свойств: качественные и количественные свойства, пространственно-временные и комбинированные свойства. Модель измерений в виде последовательных сравнений измеряемой величины с мерами с учетом ошибок первого и второго рода при сравнениях с мерами приводит к дискретным распределениям вероятностей результата измерений.

Неопределенность в измерениях связана не с несовершенством экспериментальной техники, а обусловлена объективными свойствами материи. Развитие нанотехнологий, оперирующих с объектами с размерами до 100 мкм (на рисунке 1 показана нанометрическая шкала), стимулировало более широкое внедрение понятия «неопределенность» в международную метрологическую практику. Нанотехнологии приводят к тому, что границы применимости квантово-механического соотношения неопределенностей приближаются к измерениям в области высших точностей [2].

Рисунок 1

Оценка вероятностей ошибок при сравнениях является необходимым этапом анализа измерительной информации. В классической и квантовой физике фундаментальные законы выражают вероятности. Учет вероятностей ошибок при сравнениях позволяет включить вероятности в рассмотрение фундаментальных законов физики.

В соответствии с принципом единства измерений и с учетом динамической модели фундаментальное соотношение неопределенности, проявляющееся в микромире, может быть интерполировано и на другие пространственные масштабы, вплоть до размеров макромира. Этот вывод является следствием концепции, согласно которой измерение с отличными от нуля вероятностями ошибок первого и второго рода при сравнениях измеряемой величины с мерами может проявлять себя подобно воздействию окружающей среды.

Рисунок 2

Динамические свойства модели проявляются в процедурах последовательного анализа, при котором необходимое число измерений не фиксируется заранее, а определяется в процессе эксперимента. Применение последовательного анализа позволяет ограничиться значительно меньшим числом измерений, чем в тех случаях, когда число наблюдений фиксируется заранее.

Переход от макро- к микропроцессам позволяет сделать вывод, что очень малая вероятность ошибки при сравнении измеряемой величины с мерами соответствует кванту энергии, а воздействие проявляется аналогично кванту действия М.Планка.

Логические основы измерений

Необходимость перехода от обычной черно-белой логики двух состояний к многозначной логике, степень сложности которой далеко выходит за рамки всего того, что нам известно, уже давно осознана. В классической логике предполагается, что всякое высказывание является либо истинным, либо ложным. К неклассическим логическим системам относятся трехзначное исчисление высказываний В.Лукасевича и п-значное исчисление Э.Поста. Развитие многозначной логики связывают также с появлением статьи Л.Заде, в которой определены нечеткие множества.

В случае существования кванта воздействия вероятностный характер законов квантовой теории не исчезает полностью даже при переходе к классическим объектам очень большой массы, поскольку при этом не исчезают полностью вероятности ошибок.

Выявление роли системы золотых пропорций в образовании новых структур и их классификации является одним из результатов применения четырехзначной логики измерений. Логарифмирование по основанию, равному золотой пропорции, служит изоморфизмом арифметических прогрессий, характеризующих течение времени, и прогрессий геометрических, определяющих пространственные отношения в моделях объектов окружающего мира. Золотые пропорции и обобщенные числа Фибоначчи неразрывно связывают временные и пространственные характеристики в процессе формирования объектов под воздействием окружающей среды [3].

В таблице 1 приведены  первые 10 элементов, начиная с элементов под номером нуль, для пяти последовательностей М-чисел Фибоначчи и 2-х последних элементов (большего к меньшему) для этих последовательностей. Числа Фибоначчи позволяют установить взаимосвязь фигур в пространствах разных размерностей и, следовательно, служат связующим звеном в представлении многомерных пространств.

Применение четырехзначной логики приведет к более глубокому пониманию информационных процессов, важнейшими из которых являются счет и измерение.

Наиболее полное представление результатов исследований может быть достигнуто, если попытаться выразить результат с использованием трех основных математических понятий: числа, фигуры и множества. Такая возможность существует благодаря фигурным числам, представляющим математический объект, объединяющий в себе число, множество и геометрическую фигуру.

При построении фигурных чисел важную роль играют комбинаторные соотношения. Существуют четыре основных комбинаторных схемы, связанные с размещениями и сочетаниями элементов заданного множества: размещения без повторений, размещения с повторениями, сочетания без повторений, сочетания с повторениями. Размещения представляют собой упорядоченные выборки элементов. Выборки могут различаться в зависимости от последовательности помещения каждого элемента в выборку. Если любой из выбранных элементов встречается в выборке только один раз, то говорят о размещениях без повторений. Если один и тот же элемент может появиться в выборке более одного раза, то говорят о размещениях с повторениями[4].

Сочетания представляют собой неупорядоченные выборки элементов. Выборки в случае сочетаний в отличие от размещений различаются хотя бы одним элементом. Одни и те же элементы в выборке могут повторяться, тогда говорят о сочетаниях с повторениями. Сочетания без повторений или с повторениями представляют классы эквивалентности размещений без повторений или с повторениями. При этом размещения считаются эквивалентными, если они состоят из одних и тех же элементов, взятых одно и то же число раз.

Матрица квантовых измерений

Квантовое измерение - это процесс, приводящий, так же как и воздействие, к изменению состояния объекта. Квантование состояний объектов предусматривает объединение в классы эквивалентности неразличимых состояний объектов. Если в классической статистической модели множество состояний объектов описывается распределением вероятностей, то в статистической модели квантовой механики состояние объекта описывается матрицей плотности. Все элементы матрицы плотности неотрицательные числа, а сумма диагональных элементов равна единице. В одной такой матрице может быть заключено счетное множество распределений вероятностей.

Квантование воздействий окружающей среды приводит к выделению счетного множества матриц квантовых измерений. При этом в каждой матрице выявляется счетное множество элементов, сумма вероятностей которых равна единице. В каждой строке матрицы присутствует одномерное распределение вероятностей. Кроме того, в матрице присутствуют и двумерные распределения. Некоторые комбинации элементов в строках матриц задают линейчатые структуры, которые соответствуют двумерным распределениям вероятностей. В каждой матрице квантовых измерений присутствует счетное множество линейчатых структур.

Квантовая механика ставит в соответствие каждой механической величине линейный эрмитовский оператор, например, в виде матрицы определенного вида. Поскольку для эрмитовских операторов собственные значения – действительные числа, получается непрерывная, дискретная или смешанная последовательность (спектр этого оператора). При этом собственные функции образуют полный набор ортогональных функций, по которым можно разложить любую непрерывную функцию. В матрице квантовых измерений такими функциями являются фигурные числа, представляющие вершины симплексов, расположенные на главной диагонали каждой матрицы.

Структура атома (рисунок 3) проявляется в явлениях макроскопического масштаба, связанных с его внутренним строением. Исследования спектральных свойств элементов показали, что спектральные линии всех элементов можно сгруппировать так, что структуры соответствующих групп линий (серий), относящихся к различным химическим элементам, оказываются подобными. Общие закономерности в характере спектров выражаются с помощью комбинационного принципа Ритца-Ридберга: для каждого атома можно найти последовательность чисел, называемых спектральными термами этого атома, таких, что частоты всех спектральных линий данного атома будут выражаться в виде разности двух каких-либо спектральных термов.

            Рисунок 3

Согласно планетарной модели атома, частота спектральной линии, соответствующей переходу атома из одного состояния в другое состояние, равна разности энергий атома в данных состояниях, деленной на постоянную Планка.

Замена понятий пространства и время, справедливых лишь для явлений большого масштаба, другими понятиями, необходимыми при исследовании микропроцессов, приводит к конфигурационному пространству размерностей. В матрице квантовых измерений на главной диагонали расположены фигурные числа, представляющие вершины симплексов – не зависящих от условий окружающей среды объектов классического пространства и времени.

При использовании размерности пространства в качестве переменной вместо координат времени и положения, в матрице квантовых измерений появляется возможность исследования структуры объектов, размещенных в конфигурационном пространстве размерностей. Для классификации элементов их порядковые номера по определенному алгоритму, обусловленному квантовыми числовыми последовательностями, располагаются вдали от равновесия (главной диагонали матрицы) так, чтобы были равны вероятности равновесного и неравновесного состояний при одинаковых условиях, характеризуемых порядком золотой пропорции.

При учете всех возможных состояний в строках матрицы квантовых измерений воспроизводятся распределения вероятностей размерностей или фрактальные структуры с нецелой размерностью. В матрице квантовых измерений можно воспроизвести не только фрактальные структуры, но и структуры, взаимосвязанные с квантовыми числами [5].

Одна из интерпретаций квантовой механики предполагает, что каждая из компонент суперпозиции волновой функции описывает целый мир и ни одна из них не имеет преимущества перед другой. Имеется столько миров, сколько альтернативных результатов имеет рассматриваемое измерение. Состояние системы, состояние прибора и наблюдателя в каждом из этих миров соответствуют лишь одному результату измерения, но в разных мирах результаты измерения различны.

В квантовой механике состояние системы описывается с помощью волновых функций, представляющих решения уравнения Шредингера. Если такое уравнение распространения для волновой функции, связанной с системой, записать в конфигурационном пространстве, то интенсивность (квадрат модуля) волны в каждой точке конфигурационного пространства соответствует определенной вероятности. Это вероятность того, что эксперимент, обнаруживающий частицы системы в данных точках, позволяет приписать системе конфигурацию, соответствующую данной точке. В матрице квантовых измерений каждому элементу (ячейке) матрицы соответствует определенная вероятность того, что эксперимент, обнаруживающий систему в данной ячейке, позволяет приписать системе определенную конфигурацию в виде фигурного числа.

В таблице 3 указаны порядковые номера, разбитые на группы в соответствии со значениями главного и орбитального квантовых чисел.

Матрица квантовых измерений представляет хранилище информации, позволяющее извлекать из вероятностей состояний образы объектов в виде фигурных чисел. Хранилище информации может быть связано с использованием динамического хаоса как носителя информации. Объем информации, содержащейся в матрице бесконечного порядка, неограничен. Извлечение полезной информации может быть основано на выявлении неустойчивых циклических траекторий или структур, которые находятся во взаимно однозначном соответствии с записываемой информацией, например, в виде последовательности порядковых номеров.Квантовая система, состоящая из ядра и частиц, может быть представлена симметричной группой, определяющей возможные перестановки частиц. Моделирование атомных структур предусматривает использование диаграмм и таблиц Юнга – комбинаторных объектов, определяющих геометрическую форму разбиения натурального числа на натуральные слагаемые.

В настоящее время моделирование атомных структур проводят на основе различных методов, среди которых широко известны метод Хартри-Фока и статистические методы типа Томаса-Ферми. Статистические методы связаны с представлениями электронов в виде неидеального решеточного газа или неоднородного ферми-газа с определенной плотностью [6].

Особенность всех линейных моделей для исследования атомных структур в том, что они не позволяют выявлять неоднозначность решений. Для исследования неравновесных процессов необходимо использование нелинейных моделей.

В настоящее время более 1000 различных видов структурных описаний для количественных корреляций вида структура-активность применяются для анализа химических веществ, в том числе для фармакологических целей.

Представление матрицы квантовых измерений с помощью фигурных чисел позволят заключить, что воздействие окружающей среды приводит к эволюции исходного состояния объекта, которую можно характеризовать с помощью определенных геометрических образов. Свойства симметрии данных геометрических образов при этом обусловлены характеристиками воздействий окружающей среды. В ряде случаев в процессе эволюции под воздействием окружающей среды размерность системы уменьшается, что приводит к самопроизвольному  уменьшению ее сложности и деградации. С другой стороны, в результате  воздействия окружающей среды, связанных с поглощением энергии, система может повышать свою сложность. Самоорганизация системы в том и другом случае происходит в строгом соответствии с условиями окружающей среды, характеризуемыми порядком золотой пропорции М (индекс меры устойчивости системы в таблице 4).

Построение бесконечномерных стохастических матриц квантовых измерений реализует принципы квантовых измерений фон Неймана и учитывает новые формулировки теории И.Пригожина, согласно которым основной характеристикой квантовых объектов служит не волновая функция, соответствующая амплитуде вероятности, а сама вероятность.

Показателем свойств симметрии и одновременно критерием изменчивости сложных нелинейных систем может служить порядок золотой пропорции. Этот же параметр может характеризовать условия окружающей среды. Взаимосвязь фрактальной симметрии свойств окружающей среды и соответствующей симметрии исследуемого объекта, находящегося под воздействием этой среды, характеризуемой системой золотых пропорций, представляет сущность гармоничной самоорганизации, приводящей к появлению новых форм и свойств элементов и систем.

Системы элементов в матрице

Системы элементов, характеризуемые порядковыми номерами, можно рассмотреть на основе теории шкал. Шкалы позволяют классифицировать произвольные объекты с учетом множества факторов путем отображения эмпирической системы отношений в числовую систему отношений. Примером эмпирической системы отношений могут служить атомы Периодической системы элементов Д.И.Менделеева.

До конца прошлого столетия Периодическая система рассматривалась независимо от размерности пространства, в котором существуют элементы. При этом предполагалось, что трехмерное евклидово пространство представляет приближенный абстрактный образ реального пространства. Гипотеза о существовании Периодической системы на плоскости положила начало новому подходу к проблеме отображения свойств и структуры элементов, характеризуемых порядковым номером, с учетом размерности пространства.

В теории шкал постулируется принцип вложенности, согласно которому на шкалах более высокого порядка определены все операции, действующие на нижних шкалах и некоторый набор дополнительных операций. Повышение статуса шкалы средства измерений способствует повышению качества измерений той величины, для которой данная шкала создается. С точки зрения квантовых степенных шкал, более высокая степень шкалы позволяет рассматривать образы и свойства классифицируемых элементов в пространствах более высоких размерностей.

Периодическая система элементов может существовать в различных формах в зависимости от размерности пространства, в котором размещаются элементы. Каждая такая форма включает два способа представления: в виде квантовой степенной шкалы, отображающей свойства преобразования элементов, и квантовой комплексной шкалы, отображающей структурные свойства элементов. Переход от одного вида шкалы к другому представляет гомоморфизм. Инвариантом преобразования шкал служит среднее значение порядкового номера элементов, вычисленное для множеств элементов, размещаемых в каждом комплексе [7].

Построение квантовых комплексных шкал на основе матриц квантовых измерений предусматривает использование таблиц Юнга – комбинаторных объектов, определяющих геометрическую форму разбиения натурального числа на натуральные слагаемые. Диаграммы и таблицы Юнга представляют собой математические средства анализа симметрических групп, составляющих основу произвольных групп симметрии.

Таблица Юнга – это заполнение, не убывающее по строкам и возрастающее по столбцам.

Применение таблиц Юнга формально, кроме первого комплекса условие унимодальности (суммарная вероятность всех состояний равна единице) для других комплексов не проявляется. Такое формальное построение комплексов на основе преобразованных таблиц Юнга дает возможность классифицировать элементы в соответствии с квантовыми числовыми последовательностями.

Заключение

От измерения величины к измерению атомов

Динамическая модель измерений отображает последовательные срав­нения измеряемой величины с мерами. В случаях, когда истинное значе­ние измеряемой величины неизвестно, а каждое сравнение сопряжено с вероятностями ошибок первого и второго рода, на каждом этапе измерения приходим к одному из четырех решений. Возможность принятия одного из двух решений при сравнении конкретного значения с мерой можно сравнить с бифуркацией (раздвоением решения). Таким образом, можно говорить об определенной логике измерений, включающей в себя последовательность бифуркаций и приводящей к построению бесконеч­номерных стохастических матриц измерений-воздействий.

Четырехзначная логика измерений дополняет два классических со­стояния истинное утверждение и истинное отрицание двумя новыми со­стояниями: ложное отрицание и ложное утверждение. В этой логике алго­ритм выбора решения обусловлен статистическими правилами, которые выражает оператор сравнения, рассмотренный в главе 1.

Квантование воздействий позволяет в качестве результата квантовых измерений рассматривать фигурное число, изменяющееся по определен­ным алгоритмам. Из одной единственной точки — фигурного числа в про­странстве нулевой размерности — при его измерении в матрице кванто­вых измерений рождаются новые структуры.

Стандартизованные ряды предпочтительных значений, широко при­меняемые в международной практике и основанные на определенных гео­метрических прогрессиях, также могут быть пересмотрены с учетом уров­ней внешних воздействий. Например, в нанотехнологиях ряды размеров объектов могут быть определены на основе формулы золотого фрактала. Как показано в главе 3, относительные размеры нанообъектов, взаимосвя­занные с формулой золотого фрактала, могут быть представлены в матри­цах квантовых измерений.

Неконтролируемые воздействия окружающей среды являются основ­ным источником систематических погрешностей измерений, а также мо­гут проявляться в спектральных искажениях сигналов. Предварительные результаты показывают, что возможна разработка методов и методик экс­периментального определения значений вероятностей ошибок первого и второго рода при сравнениях с последующей компенсацией шумовых воздействий, приводящих к систематическим погрешностям и спектраль­ным искажениям, включая низкочастотную область.

Список литературы

1. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики СПб.: Лань, 2004
2. Еленин Г.Г. Нанотехнологии, наноматериалы, наноустройства // Новое в синергетике: Взгляд в  тысячелетие. М.: Наука 2002
3. Воробьев Н.Н.  Числа Фибоначчи. М.: Наука,1982
4. Захарьевский А.С. и др. // Измерительная техника. 2006 № 1
5. Иродов И.Е. Квантовая физика. Основные законы. Учебное пособие для вузов. М.: Лаборатория Базовых знаний, 2002
6. Филиппов Г.Г. Теория размерностей и LTM-физика. М.: КомКнига, 2007
7. Чернышев С.Л. Измерительная техника . 2007 № 12