Олимпиада "Наноэлектроника"
Неофициальный сайт

Российский Университет Дружбы Народов

Инженерная академия

Кафедра кибернетики и мехатроники

Курс «Введение в наноинженерию»

Физико-технические основы наноинженерии

Группа: ИИб-201

Работу выполнил студент:

Губанов Артем Вячеславович

Преподаватель: доцент, к.т.н.

Лапшинский Валерий Алексеевич

Аннотация

В этой работе представлен ряд актуальных физико-технических аспектов нанотехнологий и наноразмерных структур, имеющих непосредственное отношение к наноинженерии. Рассмотрены начальные сведения о квантовой механике как физико-технические основы наноинженерии.

В работе: 5 рисунков, 3 таблицы, 24 страницы, 13 источников 

Ключевые слова: физико-технические основы, квантовая механика, волны де Бройля, уравнение Шредингера, принцип неопределенностей  Гейзенберга, потенциальная яма, потенциальный барьер, потенциальный ящик.

Глоссарий терминологии, сокращения и обозначения

Нанотехнология ‒ область фундаментальной и прикладной науки и техники, имеющая дело с совокупностью теоретического обоснования, практических методов исследования, анализа и синтеза, а также методов производства и применения продуктов с заданной атомной структурой путём контролирования отдельными атомами и молекулами.

Наноинженерия ‒ научно-практическая деятельность человека по конструированию, изготовлению и применению наноразмерных (наноструктурированных) объектов или структур, а также объектов или структур, созданных методами нанотехнологий.

Наноразмерные структуры (наноструктуры) ‒ совокупность наноразмерных объектов искусственного или естественного происхождения, свойства которой определяются не только размером структурных элементов, но и их взаимным расположением в пространстве.

Волны де Бройля - волны вероятности (или волны амплитуды вероятности), определяющие плотность вероятности обнаружения объекта в заданной точке конфигурационного пространства.

Потенциальная яма - область пространства, где присутствует локальный минимум потенциальной энергии частицы.

Потенциальный барьер - область пространства, разделяющая две другие области с различными или одинаковыми потенциальными энергиями. Характеризуется «высотой» - минимальной энергией классической частицы, необходимой для преодоления барьера.

Корпускулярно-волновой дуализм - принцип, согласно которому любой физический объект может быть описан как с использованием математического аппарата, основанного на волновых уравнениях, так и с помощью формализма, основанного на представлении об объекте как о частице или как о системе части.

ПМВ – плоская монохроматическая волна - модель в физике, удобная для теоретического описания явлений волновой природы, означающая, что в спектр волны входит всего одна составляющая по частоте.

W - энергия микрочастицы

h - постоянная Планка

ν - частота монохроматических колебаний

с - скорость распространения света в вакууме

p - механический импульс микрочастицы

m - масса микрочастицы

υ - скорость движения микрочастицы

λ - длина волны монохроматического оптического излучения

ϕ - электрический потенциал

W_k - кинетическая энергия микрочастицы

Ψ - волновая функция микрочастицы

U - функция потенциальной энергии системы

ϖ - функция плотности вероятности распределения микрочастицы в пространстве

k - модуль волнового вектора плоской монохроматической волны (де Бройля); постоянная Больцмана

n - квантовое число энергетического состояния

W_а - энергия активации элементарного физико-химического процесса

D - коэффициент прозрачности (туннельной) движения микрочастицы

R – коэффициент отражения

Содержание

«Всякая вещь есть форма проявления

беспредельного разнообразия»

Козьма Прутков

1. ВВЕДЕНИЕ

      Наноинженерия является областью человеческой деятельности по конструированию, изготовлению и применению наноразмерных объектов или структур, а также объектов или структур, созданных методами нанотехнологий.

Впервые термин «нанотехнология» употребил Н. Танигутчи в 1974 году [2]. Он назвал этим термином технологические методы, используемые для производства изделий размером в несколько нанометров. Во многих источниках, и в первую очередь англоязычных, первое упоминание методов, которые впоследствии были названы нанотехнологией, связывают с известным выступлением Р. Фейнмана «Там внизу много места» англ. «There’s Plenty of Room at the Bottom»), сделанным им в 1959 году в Калифорнийском технологическом институте, в котором он признал допустимой, с позиции физических законов, возможность механического перемещения одиночных атомов при помощи манипулятора соответствующего размера [3].

В международных документах нормативного плана под понятием нанотехнология принято подразумевать следующее определение:

• знание и управление процессами, как правило, в масштабе 1 нм, но не исключающее масштаб менее 100 нм, в одном или более измерениях, когда ввод в действие размерного эффекта (явления) приводит к возможности новых применений;

• использование свойств объектов и материалов в нанометровом масштабе, которые отличаются от характеристик свободных атомов или молекул, а также от объемных свойств вещества, состоящего из этих атомов или молекул, для создания более совершенных материалов, приборов, систем, реализующих эти свойства.

Согласно «Концепции развития в Российской Федерации работ в области нанотехнологий» (2004 – 2010 гг.), нанотехнология определяется как «совокупность методов и приемов, обеспечивающих возможность контролируемым образом создавать и модифицировать объекты, включающие компоненты с размерами менее 100 нм хотя бы в одном измерении, и в результате этого получившие принципиально новые качества, позволяющие осуществлять их интеграцию в полноценно функционирующие системы большего масштаба».

Практический аспект нанотехнологий включает в себя процессы производства устройств, необходимых для создания, обработки и манипуляции атомами, молекулами и наночастицами [4-6]. Подразумевается, что не обязательно объект должен обладать хоть одним линейным размером менее 100 нм – это могут быть макрообъекты, атомарная структура которых контролируемым образом создаётся с разрешением на уровне отдельных атомов (к примеру, это может быть матрица на основе квантовых точек), либо же содержащие в себе нанообъекты. В более широкой трактовке этот термин охватывает также методы диагностики и исследования объектов наноразмерного масштаба. Нанотехнологии качественно отличаются от традиционных подходов, поскольку на таких масштабах привычные макроскопические технологии обработки материалов зачастую неприемлемы, а физические явления, пренебрежительно слабые на привычных макроскопических масштабах, становятся намного значительнее. В более частной постановке под этим подразумевается проявление весьма сильного влияния квантовых эффектов на физические параметры и механизмы взаимодействия отдельных атомов, молекул и атомно-молекулярных комплексов [7]. Аналогичное заключение относительно ключевой роли квантовых эффектов можно распространить и на наноматериалы, в которых размерные ограничения существенным образом отражаются на свойствах материалов и элементов конструкций [8, 9]. В целом можно отметить, что наличие масштабных факторов существенно ограничивает возможность широкого использования традиционных термодинамических методов анализа структур и процессов, основанных на физике сплошных сред.

Следует отметить, что нанотехнология, и в особенности молекулярная технология и технология атомной сборки, является новой, очень мало исследованной в теоретическом плане областью знаний, находящейся более на стадии академических, нежели прикладных исследований. Основные открытия, предсказываемые в этой области, пока еще не сделаны. Тем не менее, проводимые исследования уже в настоящее время дали ряд ценных научно-практических результатов, которые позволяют отнести нанотехнологии к классу «высоких технологий».

Весьма характерно, что активный интерес к нанотехнологиям и наноматериалам проявляют специалисты различного профессионального профиля: физики, инженеры различных специальностей, химики, биологи, медики. Все они в указанных направлениях просматривают возможность реализации своих перспективных прорывных проектов, основанных на более высокой ступени развития научно-технического знания.

С точки зрения экономической целесообразности, реализация нанотехнологий в широких промышленных масштабах представляется проблематичной (имеется в виду использование технологии атомной сборки при создании изделий). В этой связи одной из важнейших проблем, стоящих перед нанотехнологией, является разработка теоретических и прикладных аспектов для обеспечения фактора самоорганизации наноразмерных структур в производственном цикле атомной сборки изделий[1].

2. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

2.1. Корпускулярно-волновой дуализм

Зарождение квантовых представлений принято связывать с именем М. Планка, который выдвинул квантовую гипотезу, суть которой состояла в том, что любая энергия поглощается или испускается светом только дискретными порциями с энергией W, пропорциональной частоте ν излучаемой световой волны:

W = h*ν

1.1)

     где h – постоянная Планка, численно равная 6,62 ⋅10⁻³⁴Дж ⋅ с.

Используя квантовую гипотезу М. Планка, А. Эйнштейн (1905 г.) предположил, что свет также состоит из отдельных квантов, которые впоследствии были названы фотонами и рассмотрены в качестве своеобразных микрочастиц.

Для объяснения структуры атома Н. Бор (1913 г.) предположил существование стационарных энергетических состояний электрона в атомах, у которых энергия может принимать лишь ряд дискретных значений.

В 1923 году Луи де Бройль выдвинул гипотезу о двойственной природе вещества, основанную на том, что движение материальных частиц обладает как корпускулярными, так и волновыми свойствами. Л. Де Бройль сопоставил движение микрочастицы с распространением некой волны. Подобно тому как А. Комптон демонстрирует корпускулярную природу света, эксперимент Дэвиссона-Гермера (дифракция медленных электронов на кристаллах) подтвердил неразрывное «сосуществование» с микрочастицей её волновых представлений, т.е. присущность ей некой волновой природы.

Из вышеизложенного следует, что для всех физических объектов (в особенности это характерно для элементарных микрочастиц) экспериментально зафиксирован двойственный характер их поведения, что и получило название корпускулярно-волнового дуализма [10].

2.2. Волна де Бройля. Уравнение Шредингера

Как отмечалось выше, в основе квантовой механики лежит представление о дискретном характере изменения энергии индивидуальных атомов и фотонов. Основополагающей концепцией в квантовой механике явилось то, что корпускулярно-волновая двойственность свойств, установленная для света, имеет универсальный характер и должна проявляться для любых частиц, обладающих механическим импульсом. Т.е все частицы, обладающие конечным импульсом, проявляют волновые свойства, и их движение можно представить с помощью некого волнового процесса.

Гипотеза Л. де Бройля: движению свободной частицы (т.е. для случая отсутствия в пространстве каких-либо внешних по отношению к микрочастице физических полей) ставится в соответствие плоская монохроматическая волна (ПМВ), длина волны λ и частота ν которой определяются выражениями:

V=W/h

   λ=h/p=h/(mv)

2.1)

аналог выражения (1.1) для случая микрочастиц, где W и р – соответственно энергия и механический импульс микрочастицы; m – масса микрочастицы; v – скорость движения микрочастицы.

Волны, о которых идет речь, принято называть волнами де Бройля. Нетрудно заметить, что длина волны де Бройля для частицы, имеющей кинетическую энергию W_k, равна

λ=h/√2mW

2.2)

В практике использования электронно-лучевых технологий (в частности для оценки разрешающей способности электронной литографии) удобно использовать выражение вида

λ=12.25/√φ

2.3)

где: ϕ – электрический потенциал (вольт), используемый для обеспечения процесса ускорения электронов.

Гипотеза де Бройля была экспериментально подтверждена опытами по рассеянию электронов и ряда других частиц на кристаллах и по прохождению частиц сквозь вещества. Признаком волнового процесса во всех таких опытах является дифракционная картина распределения микрочастиц в приемных устройствах. Волны де Бройля имеют специфическую природу, не имеющую аналогии среди волн, изучаемых в классической физике. Физический смысл имеет квадрат модуля амплитуды волны де Бройля в данной точке пространства, который является мерой вероятности того, что частица будет обнаружена в этой точке. Дифракционные картины, которые наблюдаются в опытах, являются проявлением статистической закономерности, согласно которой микрочастицы чаще попадают в определенные места в приёмниках, т.е. туда, где интенсивность волны  де Бройля имеет наибольшее значение. Микрочастицы никогда не обнаруживаются в тех местах, где, согласно статистической интерпретации, квадрат модуля амплитуды «волны вероятности» обращается в нуль (только в этом моменте прослеживаются элементы проявления традиционного классического принципа детерминизма).

В этой связи весьма существенным моментом является то, что в квантовой механике вероятностные представления (проявление которых объяснялось в рамках классической механики как следствие неполноты информации об объектах и влияния метрологических погрешностей средств измерения) возведены в ранг объективной физической реальности.

Весьма характерным является то обстоятельство, что волновые свойства объектов не проявляются в явном виде у макроскопических тел. Этот факт связан с тем, что длина волны де Бройля для таких тел настолько мала, что обнаружение волновых проявлений оказывается практически невозможным даже с помощью современных экспериментальных методов анализа.

Например, движению объекта массой в один грамм со скоростью 100 м/с ставится в соответствие волна вероятности де Бройля со значением λ = 6⋅10⁻³³ м.

В то же время для случая движения электрона с той же скоростью длина волны де Бройля составляет λ = 6⋅10⁻⁶ м, что:

• находится в пределах возможностей современных экспериментальных методов     (10^-10 м) определения величины протяженности физических объектов;

• более чем в 10⁶ раз превышает «размер» электрона, если исходить из представлений классической физики о размерах индивидуальных атомов.

Следует отметить, что волны де Бройля (характерные, по определению, только для случая свободных частиц) представляют весьма ограниченный практический интерес, поскольку в инженерно-физической практике приходится, как правило, иметь дело с частицами, локализованными в некоторой ограниченной области физического пространства (т.е. частицами, «запертыми» в потенциальном ящике). Сам факт наличия потенциального ящика заведомо ограничивает свободу перемещения частицы и, следовательно, она уже не может считаться свободной от воздействия внешних силовых полей, в роли которых выступают стенки (границы) потенциального ящика. Этот, более сложный и интересный для практических приложений случай поведения частиц будет рассмотрен ниже. Несколько забегая вперед, отметим, что именно факт локализации микрочастиц в ограниченной области физического пространства приводит к появлению дискретных (квантовых) энергетических состояний у индивидуальных микрочастиц в конденсированных средах.

Из наличия у частиц волновых проявлений следует, что закон их движения также должен основываться на волновых принципах. Отсюда следует, что при анализе движения микрочастицы следует руководствоваться неким волновым уравнением. Для микро-частицы, движущейся в силовом поле с потенциальной энергией U x, y, z, t), это волновое уравнение имеет следующий вид  и называется уравнением Шредингера [11]:

-i∙(h/2ℼ)∙(∂Ѱ/∂t)=h²/8∙ℼ²∙m∙((∂²Ѱ/∂x² +(∂²Ѱ/∂y² +(∂²Ѱ/∂z² )-U x,y,z,t)∙φ

2.4)

где: Ψ –  волновая функция микрочастицы; m – масса микрочастицы; i – символ мнимой единицы.

Важность волнового уравнения (2.4) состоит в том, что оно отражает процесс эволюции состояний микрочастицы во времени. Следует отметить, что решением уравнения Шредингера являются только комплексные волновые функции. Это обстоятельство не должно вызывать недоразумение, поскольку физическим смыслом обладает только плотность вероятности распределения частиц ϖ, а она является действительным числом.

Как правило, аналитическое решение уравнения Шредингера для случая реальных потенциальных функций U x, y, z, t) связано со значительными математическими трудностями. В этой связи в инженерно-физической практике часто, в целях упрощения анализа, рассматриваются:

• идеализированные модели функции потенциальной энергии U x, y, z, t), к примеру, рассмотренная выше модель потенциального ящика;

• стационарные задачи (интересные для многих случаев практического применения), в которых функция потенциальной энергии не зависит от времени, т.е. рассматривается функция – U x, y, z,) [1].

2.3. Волновой пакет из вероятностных волн де Бройля. Принцип неопределенностей  Гейзенберга

   ПМВ представляет собой бегущую волну, которая имеет бесконечную протяженность в пространстве. В то же время следует отметить, что даже квант света воспринимается как объект, вполне локализованный в ограниченной области пространства. Из этих соображений следует, что отдельный квант света не может быть представлен в виде единственной ПМВ. Ниже будет показано, что создание пространственно-локализованных объектов (микрочастиц или фотонов) возможно путем суперпозиции бесконечного количества индивидуальных ПМВ. Такие пространственно-локализованные объекты, образованные путем суперпозиции большого количества ПМВ, получили название волнового пакета [12].

   Создадим прообраз волнового пакета путем суперпозиции бесконечного количества ПМВ, у которых волновой вектор k в целях упрощения анализа рассматривается одномерный случай) пробегает непрерывный ряд значений в интервале значений

3.1)

где  U₀ – постоянная величина.

   После интегрирования выражения (3.1) и элементарных математических преобразований имеем аналитическое выражение для волнового пакета в виде

U(x,t)=2∙U0∙(∆k)∙(sin(∆k∙x)/(∆k∙x)∙cos(ϖ∙t-k0∙x)

3.2)

Фрагмент выражения(3.2):

                                                (3.3)

   В целях наглядности на рис. 1. представлены волновые пакеты, построенные для двух случаев: (Δk / k₀ )= 0.1 и (Δk / k₀) = 0.5. Протяженность центрального фрагмента рисунка 2Δx при х = 0) условно принимается равной ширине волнового пакета (т.е. области локализации объекта). Из рисунка следует, что увеличение протяженности интервала значений (k₀ – Δk) ÷ (k₀ +Δk) приводит к повышению степени локализации объекта в пространстве.

Рис. 1. Зависимость пространственной протяженности волнового пакета 2Δx от относительной величины интервала вариаций Δk :

а) – Δk / k₀ )= 0.1; б) – Δk / k₀ )= 0.5

Для определения пространственной протяженности волнового пакета Δx имеем

∆k∙∆x)=ℼ

3.4)

   Из выражения(3.4) следует, что при выполнении условия:

• Δk → ∞, протяженность волнового пакета Δx → 0, т.е. в данном случае имеет место реализация абсолютно локализованного в пространстве объекта (например, идеализированного кванта света);

• Δk → 0, протяженность волнового пакета Δx → ∞, т.е. в данном случае имеет место реализация одной единственной бесконечно протяженной ПМВ с волновым вектором, равным k₀ (аналог волны де Бройля для свободной частицы);

• Δk = const, протяженность волнового пакета Δx становится равной определенной конечной величине, т.е. в данном случае имеет место реализация цуга волн, отображающего область нахождения реального объекта.

   Таким образом, можно считать, что методология формирования волновых пакетов является эффективным способом создания пространственно-локализованных структур (объектов) из бесконечно протяженных составляющих, имеющих волновую природу, вне зависимости от физической специфики рассматриваемых волновых процессов. В силу оговоренной выше универсальности подобного подхода он нашел весьма широкое распространение не только в оптике (электромагнитные волны), но в электронике (спектральный анализ электрических сигналов) и в квантовой механике (вероятностные волны де Бройля). Во всех вышеупомянутых случаях производится «конструирование» локализованных объектов путем суммирования (суперпозиции) большого количества (в пределе бесконечного) индивидуальных ПМВ.

   Интервалу значений Δk соответствует определенный интервал значений Δp по каждой из координат {x,y,z}):

∆p=(h/2∙ℼ)

3.5)

   Из  выражений (3.4) и (3.5) следуют соотношения, известные как принцип неопределенностей В. Гейзенберга:

 ∆pₓ∙∆x=h/2; ∆py∆y=h/2;  ∆pz∙∆z=h/2

3.6)

   Принцип неопределенности свидетельствует о невозможности одновременного и точного определения координат и импульсов микрочастиц (следует особо отметить, что классическая физика не налагает подобного рода принципиальных запретов), а следовательно, становится проблематичным определение потенциальной (фактор Δx ) и кинетической (фактор Δp) энергии микрочастиц.

   Выраженипе (3.6) может быть использован для проведения грубых оценок (с точностью до порядка величины) кинетической энергии микрочастиц, «запертых» в пределах одномерного потенциального ящика, имеющего протяженность 2 Δx см. рис.1). Для этой цели, полагая, что Δp ≈ p, можно провести оценку кинетической энергии частицы согласно выражению:

                                     Wk=p²/2m=(∆p)²/(2∙m)=h²/[8∙m∙(∆x)²]

3.7)

   В табл. 1. представлены зависимости абсолютных W_k и относительных W_k / W_T значений кинетической энергии электрона (где W_T –средняя энергия теплового движения электрона) от протяженности потенциального ящика (2· Δx ), полученные на основании выражения (3.7).

Т а б л и ц а 1. Зависимость параметров W_k и W_k / W_T от протяженности

потенциального ящика (2 Δx ) (масса покоя электрона: m = 9.11*10^-31кг)

Примечание: заливкой обозначены ячейки, в которых W_T превосходит W_k более чем на порядок.

   Данные табл. 1.1 позволяют в некоторой мере оценить влияние на энергетическое состояние микрочастицы масштабного фактора, свидетельствующего об ограничении свободы перемещения микрочастицы в пространстве. В частности из таблицы видно, что при размерах «потенциального ящика» более чем 100 нм влияние фактора ограничения свободы микрочастицы становится пренебрежимо мало относительно возможности проявления физико-химических эффектов, которые могут быть обусловлены проявлением тепловых флуктуаций в системе[2].

3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

      Разумеется, что в рамках одной работы невозможно охватить все физико-технические основы наноинженерии, ведь помимо квантово-механических сведений, в наноинженерии рассматриваются: электрическая проводимость наноразмерных структр, энтропийные критерии качества нанотехнологий и наноразмерных структур и другие. Но так как знание квантово-механических основ используются во многих других областях наноиненерных знаний, то именно их рассмотрению уделилось большее внимание.

В настоящее время вполне очевидным фактом является тенденция разработчиков микросистем к освоению нанометровых размеров элементов конструкций устройств, что позволит существенно повысить тактико-технические данные современных вычислительных сред.

Переход от микротехнологий к нанотехнологиям знаменует собой не просто банальное уменьшение размеров технических устройств. Этот переход создает известные предпосылки к разработке ряда специфических устройств, близких по своему функциональному назначению и конструктивному исполнению к природным (биологическим) объектам (в случае микротехнологий о такой близости не приходилось говорить ввиду существенного различия как технологических, так и функциональных принципов).

В этой связи можно отметить, что в настоящее время нанотехнологии одномоментно становятся нужными весьма широкому кругу специалистов различной отраслевой направленности [1].  

Литература

1. Саноян А.Г. Физико-технические основы наноинженерии: учебн. пособие. - Самара: Изд-во Самар. гос. аэрокосм. ун-та, 2011. -376 с .

2. Taniguchi, N. On the basic concept of nanotechnology / N. Taniguchi.// Proc. Int. Conf. Prog. Eng. Part 11. Tokyo: Jap. Soc. Pres. Eng., 1974.

3. Фейнман, Р. Внизу полным-полно места: приглашение в новый мир физики  /    Р.Фейнман // Российский химический журн. – 2002. – Т.46. – №5. – С. 4-6.

4. Гусев, А.И. Наноматериалы, наноструктуры, нанотехнологии  / А.И. Гусев. – М.: Физматлит, 2005. – 416 с.

5. Пул, Ч. Нанотехнологии  / Ч. Пул, Ф. Оунс; пер. с англ.; под ред. И.П. Чернова. – М.: Техносфера, 2005. – 336 с.

6. Нанотехнологии в электронике  / под ред. Ю.А. Чаплыгина. – М.: Техносфера. 2005. – 446 с.

7. Малинецкий, Г.Г. Нанотехнологии. От алхимии к химии и дальше  / Г.Г. Мали-нецкий // Интеграл. – 2007. – № 5. – С. 4-5.

8. Жоаким К. Нанонауки. Невидимая революция  / К. Жоаким, Л. Плевер; пер. с англ.; под ред. В.А. Смирнова. – М.: КоЛибри, 2009. – 286 с.

9. Борисенко, В.Е. Наноэлектроника  / В.Е. Борисенко, А.И. Воробьева, Е.А.  Утки-на. – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2009. – 223 с.

10. Фейнман, Р. Фейнмановские лекции по физике : вып. 8,9: Квантовая механика / Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэнде; пер. с англ.; под ред. Я.А. Смородинского. – М.: Изд-во ЛКИ, 2008. – 528 с.

11. Ландау, Л. Квантовая механика (нерелятивистская теория) / Л. Ландау, Е. Лифшиц. – М.: Физматгиз, 2004 . – 800 с.

12. Белоусов, Ю.М. Курс квантовой механики. Нерелятивистская теория  / Ю.М. Белоусов. – М.: Физматгиз, 2006. – 547 с.

13. Малинецкий Г.Г. Научно-исследовательские концепции, программы и проекты в области нанотехнологий // УМК. - М.: Москва: РУДН, 2015. - 284 с.

Приложение 1. Какая математика нужна наноинженеру[13]

Математические основы

1. Понятие интеграла Римана. Критерии интегрируемости: необходимый, достаточный.


2. Метрические, нормированные и гильбертовы пространство.


3. Понятия интеграла Лебега. Пример функции, интегрируемой по Лебегу и неинтегрируемой по Риману.


4. Принцип сжимающих отображений. Формулировка теоремы.


5. Линейные непрерывные операторы. Проекторы, основное свойство и пример


6. Линейные непрерывные функционала, определение.


7. Общая схема применений проекционных методов.


8. Ряды Фурье по системе гармонических функций.


9. Корректно поставленные задачи.


10. Линейные интегральные уравнения Фредгольма.


11. Собственные значения матрицы.


12. Определение группы.


13. Корни полиномов. Основная теорема алгебры.


14. Линейные преобразование координат. Преобразования скаляра, вектора, тензора.


15. Операторы векторного анализа. Основы тождества, вид в декартовых координатах.


16. Цилиндрические и сферические координаты.


17. Экстремальные задачи в евклидовом пространстве R². Критическая точка, достаточные условия экстремума.


18.  Экстремальные задачи в евклидовом пространстве R² с ограничениями. Множители Лагранжа.


19. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Теорема о решение задач Коши.


20. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью в виде квазимногочлена.

 Простейшие математические модели.

1. Классификация дифференциальных уравнений второго порядки с частными производными в двумерном случае.


2. Постановка типичных задач математической физики для уравнения второго порядка с частными производными.


3. Уравнение теплопроводности с постоянными коэффициентами в одномерном случае. Физический смысл фундаментального решения.


4. Волновое уравнение в одномерном случае.


5. Уравнение Лапласа и Пуассона.


6. Уравнение Шредингера. Смысл волновой функции.


7. Уравнение Максвелла.


8. Физические законы, лежащие в основе уравнений газовой динамики.


9. Линейное одномерное уравнение переноса.


10. Корректность постановки задач математической физики.


11. Нахождение особых точек динамических систем на плоскости. Определение узла, фокуса, седла, центра.


12.  Аттракторы простейших динамических систем.


13. Понятие о бифункции.


14. Логическое отображение. Простейшие аттракторы и бифуркации.


15. Динамика осциллятора под действием периодической вынуждающей силы. Понятие о резонансе.


16. Уравнение движения материальной точки в потенциальном поле. Период колебание в потенциальной яме.


17. Уравнения движения физического маятника. Фазовое пространство.


18. Принцип наименьшего действия. Уравнение Эйлера – Лагранжа для маятника.


19. Гамильтоново описание динамики в простейшем случае.


20. Задача двух тел в гравитационном поле (задача Кеплера). Законы Кеплера.

Численный анализ

1. Число обусловленности матрице.


2. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений. Схема и свойства.


3. Метод прогонки.


4. Решение скалярных нелинейных уравнений. Метод Ньютона.


5. Интерполирование в одном случае. Полиномиальная интерполяция.


6. Простейшие квадратурные формулы.


7. Численное дифференцирование Варианты методов.


8.  Аппроксимация разностной схемы. Условная и безусловна аппроксимация.


9. Устойчивость разностной схемы. Условная и безусловная устойчивость.


10.  Сходимость разностной схемы.


11. Корректность разной схемы. Сходимость как следствие аппроксимации и устойчивости, теорема Рябенького – Филлипова.


12. Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.


13. Понятие о методах решения жёстких систем.


14.  Консервативные (дивергентные), однородные и монотонные разностные схемы.


15. Линейное одномерное уравнение теплопроводности с постоянными коэффициентами. Разностная схема с весами.


16. Линейное одномерное уравнение переноса с постоянной скоростью. Явные разностные схемы с левой, правой и центральной разностями.


17.  Линейное одномерное волновое уравнение колебаний.


18.  Линейное двумерное уравнение Пуассона. Пятиточечная схема.


19.  Экономичные разностные схемы для решения многомерного уравнения теплопроводности. Продольно-поперечная схема.


20. Понятие о методе конечных элементов.


21.  Понятие о методе Монте-Карло.

Приложение 2. Вопросы и задачи

Задача 1. Вычислить длину волны де Бройля для газовых молекул в объеме, имеющем комнатную температуру.

Задача 2.  Определить отношение длин волн де Бройля для электрона и протона, прошедших одинаковую ускоряющую разность потенциалов U .

Задача 3.  Оценить минимальную кинетическую энергию электрона при его движении внутри одномерного потенциального ящика, имеющего протяженность L.

Задача 4.  Используя соотношение неопределенностей, оценить протяженность одномерного потенциального ящика, в котором задана минимальная энергия электрона E_min.

Задача 5.  Частица находится в одномерном, прямоугольном потенциальном ящике с абсолютно непроницаемыми стенками. Найти величину разности ΔW между соседними энергетическими уровнями энергии W n_i) частицы для случаев:  n₁ = 1 ;  n₂ = 2 ;  n₃ = 3 ;   n₅ = 5; n_∞= ∞ .